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2009年考研數學復習之圓錐三角形的定義、結構與性質

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圓錐三角形運動與天體運動的軌跡是圓錐曲線,即代數幾何化,矢量化,物理化,亦即數形統一與數理統一。也就是完善的、自由的、合理的方法。圓錐三角形包含圓的四種圓錐曲線的統一的極坐標方程。
定義:原點A到極軸上一維運動點N的距離AN與原點A到二維運動點C的距離AC比為定比e,且極角的對邊法矩NC在極徑AC上的投影為定長L0,動點C的軌跡是圓錐曲線。
這實際上規定了一個兩邊夾角的三角形的性質,我們稱它△ANC圓錐三角形。它是由極軸、極徑、法線三線構成的三角形。注意:焦點=原點=極點=是R的起點。
圓錐三角形的三點:原點A,法點N,動點C。法點N是動點C的法線與極軸的交點。
圓錐三角形的三邊:基線eR=AN線段,極徑R=AC線段,法矩L1=NC線段。
圓錐三角形的三角:極角θ=∠CAN,頂角β=∠ACN,法線角θL = θ+β=∠CAN+∠ACN 。
性質1·基線eR與極徑R的比為定比e,該定比稱偏心率e。e = AN/AC。
性質2·法矩L1在極徑R上的投影為定長L0,該定長稱最小曲率半徑L0。L0 = L1cosβ,故L1 = L0/ cosβ
性質3·極徑R  等于法矩L1與基線eR在極徑上的投影。極徑公式:R = L0+eX,故 L0=R-eX 
最小曲率半徑L0,是決定圓錐曲線大小的量,在天體力學領域內是天體在頂點的運動曲率。是圓錐曲線頂點的曲率半徑,又稱通徑、焦參數、半正焦弦,是尖點到頂點的距離,尖點是曲率圓心在極軸上。
偏心率e是決定圓錐曲線方程性質的量。即決定天體運行姿態的量。完善的、合理的定義是包含四種圓錐曲線:當e=0時為圓;當0<e<1時為橢圓;當e=1時為拋物線;當e>1時為雙曲線。
R = L0/(1-ecosθ) 
X = Rcosθ
Y = Rsinθ 
07.物理三角形運動:  
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